你要是听到有人这样夸口:“我这个人啊,朋友值千金,视黄金如粪土。” 你会怎么想?你会觉得这个人很豪爽吗?
据说逻辑学家金岳霖十几岁时就发现这句话有逻辑问题,他发现这两句话可以推导出:朋友是粪土!
看来,我们即使当不上福尔摩斯和柯南那样的推理高手,还是有必要了解一些推理的基本常识,免得说出类似“朋友是粪土”的话来。
逻辑研究的中心问题是推理,而推理所需要的前提和得出的结论都是命题。什么是命题呢?所谓命题就是能判断真假的陈述句。
比如“2018 年世界杯举办国是俄罗斯”,“所有人都是要死的”以及“苏格拉底是人”都是真值为“真”的真命题。
类似于“你有铅笔吗?”“这只兔子跑得真快呀!”“请不要讲话!”是不能作为推理的“食材”的,因为这三句话分别是疑问句、感叹句、祈使句,它们都不是命题。
再看这句话:我正在说谎——这是命题吗?
如果“我正在说谎”是一个真命题,则表示“我正在说谎”是一句真话,这就和命题本身的含义相矛盾。
如果“我正在说谎”是一个假命题,则表示“我正在说谎”是一句假话,即“我正在讲真话”,而这又和“我正在说谎”相矛盾。
这样看来“我正在说谎”无论是真是假,都会带来矛盾,因此,我们说这句话是一个悖论。
悖论的英文 Paradox 一词,来自希腊语,意思是未预料到的、奇怪的。
“我正在说谎”源于一个著名的说谎者悖论,这个悖论在不同的时候曾有不同的表示形式,一个比较有代表性的表述是这样的:
古希腊克里特先知伊壁孟尼德(Epimenides)曾经说过:“所有的克里特人都是说谎者。” 伊壁孟尼德说的这句话是真话吗?
“说谎者悖论”还可以是下面的形式:
有一张扑克牌,它的一面印有这样一句话:“牌的背面是真话。”但是在这张牌的背面也印有:“牌的背面是假话”,你该怎样看这张牌呢?
悖论长久以来让数学家着迷,并引发数学的多次变革。
获得过诺贝尔文学奖的著名数学家罗素曾提出过一个著名的“理发师悖论”。经过罗素妙笔构思后的“理发师悖论”是这样说的,在萨维农村,一位理发师挂出一块招牌:“本人理发技艺高超,我将为本村所有人那些不自己理发的人理发,并且我也只给这些人理发。”
来找他理发的人络绎不绝,当然,这些人都是不自己理发的人。
有一天,有人看到理发师自己的头发很长了,就好奇地问他:理发师先生,您给不给自己理发啊?”
那我们来推理一下:如果理发师不给自己理发,他就属于招牌上指明的“不自己理发的人”的那一类人,有言在先,那么他应该给自己理发。
但是,如果这个理发师给自己理发,根据招牌所言——他只给村中不自己理发的人理发——那他就不能给自己理发啦!因此,无论这个理发师怎么做,都会跟那块招牌产生矛盾。
罗素包装成的“理发师悖论”非常浅显易懂,而且所涉及的“集合”和“属于”都是集合论中最基本的概念,所以,理发师悖论一提出就在当时的数学界引起了极大震动。
数学家弗雷格(G.Frege)发现自己忙了很久的一系列结果被这条悖论搅得一团糟。在收到罗素介绍这一悖论的信后,他伤心地说:“一个科学家所遇到的最不合心意的事莫过于在他的工作即将结束时,其基础崩溃了。罗素先生的这封信正好把我置于这个境地……”数学家戴德金也因此推迟了他的《什么是数的本质和作用》一文的再版。
可以说,这一悖论就像在平静的数学水平上投下了一块巨石,它所引起的反响巨大,导致了第三次数学危机。
一批以芝诺为代表的人认为悖论在本质上揭露了逻辑思维的欺骗性,而亚里士多德则不以为然,他认为悖论是不合逻辑的,只是一些华而不实的推理练习而已。
数学家一直想干这样一件事,为数学建立一个免于逻辑循环的坚实基础,但悖论始终是实现这一蓝图的绊脚石。
由于悖论带来问题至今难解,所以数学家们制定了如下“军规”以绕开这个绊脚石:悖论不是命题。
文章来源:《离散的世界》 陈卓 湖南科学技术出版社 2020年12月
离散的世界 湖南科学技术出版社 2020年12月 陈卓著
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