数量安全: 破解系数代码

由Kaneenika Sinha，Baskar Balasubramanyam和他们的团队IISER pune

数字的十进制扩展是中学数学中的常见练习。像1/5和1/4这样的分数负担较小。他们的十进制扩展分别在0.2和0.25迅速终止。但是1/3的分数有点耐人寻味。它的十进制扩展没有终止，但是很快就清楚了，一个数字，即3，开始重复。对于某些其他分数，一整块数字，而不是一个数字，会无休止地重复。例如，分数17/27导致0.629629629629629629…，块629不断重复。

好像这还不够令人费解，存在无理数的扩展，例如2的平方根。无理数是不能以a/b形式表示的无理数，其中a和b都是整数。在这种情况下，十进制扩展既不会结束也不会显示任何重复的数字模式。例如，2的平方根产生1.414213562373095…… 许多其他数字的平方根和立方根也是不合理的。一个著名的无理数是pi (用符号 ð 表示)，即圆的周长与其直径之比。这个数字也是一个没有任何重复模式的无尾小数。

有理数和无理数之间的差异导致了许多有趣的表现形式。让我们看看其中一个。取你选择的任何有理数r，说1/3。将其乘以所有自然数n (1,2，3,4…)，并记录每个乘积nr的小数部分。可以很容易地观察到，当n发生变化时，乘积nr的小数部分只取一些固定值。例如，如果r为1/2，则乘积nr的小数部分为0.5或0。类似地，如果r为1/3，则乘积的小数部分仅为0.3333…，或0.6666… 或0。

当你把r作为无理数，说2的平方根，并开始把它与任何自然数n (1，2，3，4…) 相乘时，情况会完全改变。如此产生的产品nr的小数部分不是有限的。每个乘法都会产生不同的小数部分。

数学家也试图在这里寻找模式。1842年，彼得·古斯塔夫·勒吉恩·狄利克雷 (peter Gustav Lejeune Dirichlet) 表明，具有几个自然数 (n = 1,2，3,4……) 的任何无理数 (r) 的乘积的小数部分都趋于零。换句话说，这些乘积 (nr) 的小数部分很可能近似为零。然而，在进一步的研究中，另一位数学家Leopoldt Kronecker提出了更好的结果。小数部分很可能接近0到1以及介于两者之间的每个值。

这一结果被德国数学家赫尔曼·外尔·1916年进一步完善。这开始被称为均分现象。小数部分可能沿0到1之间的每个值均匀分布。

为什么这很重要？数学的美丽对称性常常揭示了自然界如何运作的许多隐藏的复杂性。例如，物理学家尤金·维格纳 (Eugene Wigner) 证明，一种看起来像半圆的等分布定律正确地预测了重原子核的能级分布。

我们自己的研究重点是在模块化形式的背景下产生的各种族和实数序列的等分布。1916年，Srinivas Ramanujan写了一篇题为 “关于某些算术函数” 的论文，此后彻底改变了数论。在20世纪30年代中，埃里希·赫克 (Erich Hecke) 为拉马努金 (Ramanujan) 的工作奠定了更深入的理论基础，称为模块化形式理论。模块化形式是一些非常特殊的功能，具有丰富的内部对称性和增长条件。可以用所谓的 “傅立叶展开” 来描述它们: 这些展开中产生的系数编码有关数学许多方面的重要信息。例如，对模块化形式的傅立叶系数的深入研究有助于解决著名的费马大定理。

最近的重大突破之一是发现 (理查德·泰勒，迈克尔·哈里斯和其他许多人)，由模块化形式的傅立叶系数产生的某些序列遵循上述相同的 “半圆” 等分布定律。

我们小组正在研究与这些系数相关的几种更深层次的统计现象。我们正在尝试了解由模块化形式的傅立叶系数引起的几个族的分布，并将其应用于算术几何中的问题。

为了考虑将您的研究纳入本专栏，请写信给策划本专栏的高级编辑阿米塔布·辛哈 (Amitabh Sinha)，[email protected]