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围棋有多少个棋子(围棋黑棋有多少颗)

时间:2022-12-16 14:05:11 来源:

作者 | 刘洋洲

来源 | 转自知乎专栏《万物皆数也》,“数学英才”获授权转载,在此感谢!

据先秦典籍《世本》记载:「尧造围棋,丹朱善之」。作为距今约有四千年历史的古老游戏,究竟与数学有何缘分?本文尝试叙述之。

图论预备知识

我们先了解一下关于图的基本概念。

无论是东方的星宿或是西方的星座,都是古人对于图论最初的应用。事实上,围棋本身极可能起源于上古天文学,围棋棋盘中心点称为天元,其余8个特殊位置的点称为星位(图2)。

图1

图2:标准围棋棋盘

所谓图(Graph),是由一些离散的点以及连接这些点的边所构成。我们将图记为,其中表示顶点集(vertex set),表示边集(edge set)。如果两顶点之间存在边,则说两者相邻,记为,此外连接两者的边也可以说与此两点相邻。

显然围棋棋盘是一个图,记为。我们把下棋落子的过程视为构造子图的过程,所谓子图即满足:

我们定义图的商运算:将子图整体替换为一个顶点 ,保持子图之外的顶点以及与不相邻的边不变,凡是与相邻的边,则将此边的端替换为.

图3:图的商运算。将「喜」变成「吉」。这个图源于剪纸。

我们说两个顶点是道路连通,即存在一系列首尾相接的边构成的道路,分别以此两点为首尾端点(如果道路首尾端点是同一个点,则称道路为圈)。连通的概念也可以推广到图与图之间。一个图可能是由若干个不连通的子图构成,如果把漫天的星座视为一个巨大的图,则每个连通的星座可以被称为连通分支。

图4:左右两个连通分支,左边分支是一条黄色的道路;右边分支是黄色的圈。

还有一个从图论诞生之初就产生的概念——度(degree):与顶点相邻的边的个数,记为 见图5,例如白羊座(Aries)的星(星座中最亮的星)的度数是3;拥有最高度数点的星座是天秤座(Libra)和天蝎座(Scorpio),它们的星的度数都是是4.

图5:黄道十二宫。

下文中我们会看到度与围棋中的气的概念息息相关。

围棋规则简介

先来简单介绍一下围棋的基本规则。

何为「气」?

在围棋中有一个核心概念,那就是气,也就是一块棋在棋盘上的生命值。

图6:白子提吃黑子的过程

如上图,一颗子在棋盘腹地(非边界)有上下左右四口气,当这四气被对方全部围堵住的话,棋子就会被对方提吃。特别地,当棋子在棋盘边线而非四角时,棋子有三气;当棋子在四角,棋子仅有两气。

围棋棋盘是一个简单平面图:棋盘中腹的点,度数为4,边界而非四角的点,度数为3,四角的点度数为2.

同属于一个连通分支的同色棋子,我们称为一块棋。

图7:黑棋共有4个分支,白棋只有一个。而且白棋马上就会被提吃,这个棋形在围棋术语中称为"滚打包收"。

前面我们介绍的是一个顶点的度,我们可以把这个概念推广到连通子图上,即考虑连通子图的度——

气的定义

记棋盘为图,考虑盘面上某块棋子构成连通子图,两者进行商运算,定义的气:

何为「目」?

目的定义

简单来说,某一方所围区域内的交叉点数即为目数。目是最终结算双方收益的基本单位。判断胜负的总目数分为两个部分: 盘面目数、对方死子数(已提和未提)。

中国规则是数子法:不考虑敌我双方的死子,只考虑占领的格点数目,包括活棋自身所占领的格点。数目法源自唐代,后东传日本。

从图论的角度讲,围棋比拼的是对弈双方构造有效连通分支的过程。连通分支对盘面起到了分割的作用。谁的有效连通分支长得好,散布得快,盘踞得广,谁就获胜。可见,围棋非常能体现生命占领空间、获取更多资源的特点。大数学家康威正是基于围棋而发明了元胞自动机——生命游戏。

接下来我们就可以讨论围棋中所涉及的数学问题了。

问题一:气数

一块棋的气数是由哪些因素决定?是否有计算公式?

子数

直觉上“棋子越多,气越多”,所以棋子数是一个重要的因素。

图7

如果棋子如上图线性排列,那么容易得到计算公式:

这个公式说明,除了首尾两颗棋的气数是3气,其余中间的棋皆贡献2气。这与有机化学中的饱和碳链连接氢原子个数公式一致,正因为碳原子最外层电子可以与四个氢原子的单电子配对,这和围棋一子有四气相同。

然而在真实的对弈中,棋形往往十分复杂,只贡献1气甚至是0气的棋子也是极有可能的。

愚形

“愚形”在围棋术语里是指效率低下的棋形。

图8:各种愚形。

当棋子发生拐时(拐,围棋术语),拐角两子共用一口气,也就是说拐头给整块棋仅贡献了1气(见图9)。

图9

此时公式(1)应当修正

图10:此棋形叫做「扭羊头」,一旦陷入此情形,黑棋应当尽早放弃逃跑,因为越跑只会输的越多。

如图10,如果不考虑白棋,黑棋的气数可以通过公式(2)计算:

即黑棋拐了6次,计算结果和真实气数一致。正是因为拐本身提供的气的效率不高(2气/子),所以才会被对方不断索命。这正是扭羊头形成的原因。

应当注意的是,此公式适合计算同方向(顺时针或逆时针)拐与拐之间不是很近的情况(扭羊头是反向拐相间),否则气数会更少。

图11:连续的同向拐会导致若干子共用一口气。这个棋形称为「活眼」,简称「眼」,两个连通的活眼就是活棋,即对方绝对不能提吃的棋。

图12:活眼在棋盘边、角、中腹的三种形态。角眼有两子共用一口气;边眼三子共用一口气;腹眼四子共用一口气。

丁四

图13:丁四。新增加的子并没有带来额外的气。

图14:方四。新增一气。

容易看出图8中其余的愚形皆可以视为上述三种愚形的组合。

跳、双

图15:一子为跳,二字为双。

这种近距离的平行关系也会造成气的共用。

边角效应

最后考量一下在边角行棋的特殊情况。

图16:立(招法),即下在一路,使得原本悬空的棋站立在边界上。

立只提供1气。不过在做死活题的时候,立往往会造成对方「不入气」(使得对方无法延气而束手就擒),这个杀招就是著名的「金鸡独立」。

气的公式

综上,我们可以得到气数公式:

其中愚形损气可以细分为:

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